15.1 Elastizität einer beliebigen Funktion

Gib eine beliebige Funktion in das Feld ein, um Dir den Funktionsgraphen anzeigen zu lassen. Ein beweglicher Punkt auf dem Graphen zeigt Dir die jeweilige Elastizität der Funktion in dem Punkt an.


Eine Elastizität ϵ gibt an, wie stark eine Variable auf die Veränderung einer anderen Variablen reagiert. Alle Veränderungen werden in % angegeben.
Als Beispiel zur Illustration dieser Größe nehmen wir die Preiselastizität der Nachfrage.
Die Preiselastizität der Nachfrage ist die prozentuale Änderung der Nachfrage bei einer ein-Prozent Änderung des Preises.

Preisänderung der Nachfrage = prozentuale Mengenänderung prozentuale Preisänderung



Eigenschaften

  1. Die Elastizität ist skaleninvariant .
    Es ist also egal, in welcher Einheit die Input und Output Größe gemessen werden. Da nur prozentuale Veränderungen in die Berechnung der Elastizität eingehen, spielt die Skala keine Rolle.
    Beispiel: 1 % von 100.000  sind 1.000 . Nimmt man T  als Skala, so erhält man 1% von 100T  sind 1T , also dasselbe.
  2. Die Elastizität ϵf einer Funktion f hängt mit der Ableitung zusammen, ist aber nicht dasselbe! Während die Ableitung einer Funktion die Änderung des Output (Δy) zur Änderung des Inputs (Δx) in Beziehung setzt, f = Δy Δx, verwendet manfür die Berechnung der Elastizität die relativen Änderungen(Δy y und Δx x ), also ϵf = Δy y Δx x . Die Beziehung zwischen Ableitung und Elastizität (die Approximation mittels Δy undΔx ist bei beiden identisch) ergibt sich also zu ϵf = fx y
    Als Folge ist auch die Elastizität einer linearen Nachfrage nicht konstant, sondern bei kleinem Preis niedrig und bei großem Preis hoch.Vielmehr ist die Elastizität die Ableitung auf doppelt logarithmischer Skala (s.u.).
  3. In einem festen Punkt (x,p) ist die Preiselastizität der Nachfrage umsogrößer, je flacher(!) die Nachfragekurve ist. Die Nachfrageelastizität misst die Stärke der Reaktion der Nachfrage auf eine Preiserhöhung.
  4. Bei (c.p.) höherem Preis ist die Nachfrageelastizität höher.
    Bei (c.p.) höherer Menge ist die Nachfrageelastizität geringer.
    Grund: Die Darstellung der Nachfrage als Funktion des Preises misst Absolutwerte!

Nachfrageelastizität und Umsatz: Fallbeispiel
Wir nehmen hier eine lineare oder konkave Nachfragefunktion an, das impliziert einen abnehmenden Grenznutzen mit nicht zunehmender Abnahmerate. Dies impliziert, dass die Elastizität der Nachfrage mit dem Preis wächst.
Bei ϵP = 1 wird der maximale Umsatz erreicht.
Anschauliche Begründung:
Wird ausgehend von ϵP = 1 der Preis der Preis erhöht, so reduziert sich die Menge Überproportional, da bei höherem Preis ϵP > 1 gilt. 1 Preissteigerung reduziert die Menge um mehr als 1. Somit sinkt der Umsatz.
Wird ausgehend von ϵP = 1 der Preis der Preis reduziert, so erhöht sich die Menge unterproportional, da bei niedrigerem Preis ϵP < 1 gilt. 1 Preissenkung erhÃht die Menge um weniger als 1. Somit sinkt der Umsatz.
In beiden Fällen sinkt der Umsatz.
Sind die variablen Kosten vernachlässigbar (Bsp. Museum, Kinos), so ist Umsatzmaximierung gleich Gewinnmaximierung und das Unternehmen verhält sich optimal, wenn es den Umsatz zu maximieren versucht.

Die Elastizität als doppelt logarithmische Ableitung
Trägt man die Nachfragekurve oder eine andere Funktion in einem Koordinatensystem mit zwei logarithmischen Achsen auf, so entspricht die Elastizität der Steigung der Kurve in diesem Koordinatensystem. Mit anderen Worten erhält man die Elastizität einer Funktion, indem man den Logarithmus der Funktion nach dem Logarithmus der Inputvariablen ableitet.
In der Herleitung der Behauptung verwenden wir d log(f(x)) dx = f(x) f(x) und d log(x) dx = 1 x. Zudem sei angemerkt, dass das Erweitern dieses Bruches um dx dx formal nicht ganz korrekt ist, dem Leser aber eine intuitiv begreifbare und nachvollziehbare Herleitung ermöglicht.
Herleitung

d log(f(x)) d log(x) = d log(f(x)) dx d log(x) dx = f(x) f(x) 1 x = f(x) x f(x)



(c) by Christian Bauer
Prof. Dr. Christian Bauer
Lehrstuhl für monetäre Ökonomik
Universität Trier
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