10.3 Homogene Funktionen von zwei Variablen

Definition:
Eine Funktion f : 2, (x,y)f(x,y) heißt homogen vom Grad n , wenn für alle (x,y) 2 gilt:

f(kx,ky) = knf(x,y)für allek 0+


Multipliziert man die Variablen x und y mit einer positiven Zahl k > 0, so wird der Funktionswert mit dem Faktor kn multipliziert.

Beispiel 1: Die Funktion f(x,y) = 5x2y2 + xy3 ist homogen vom Grad 4:

f(kx,ky) = 5(kx)2(ky)2+(kx)(ky)3 = 5k2x2k2y2+kxk3y3 = k4(5x2y2+xy3) = k4f(x,y)d.h.n = 4


Für k = 2 erhalten wir beispielsweise

f(2x, 2y) = 24f(x,y) = 16f(x,y)


Verdoppelt man also x und y, so steigt der Funktionswert f(x,y) um den Faktor 16.

Beispiel 2: Die Funktion f(x,y) = x2y + xy ist nicht homogen:

f(kx,ky) = (kx)2(ky)+(kx)(ky) = k3x2y+k2xy = k2(kx2y+xy) = k3(x2y+1 kxy)


Hier ist es also nicht möglich, den Faktor k3 bzw. ka für irgendein a auszuklammern, folglich wird die Definitionsgleichung f(kx,ky) = knf(x,y) einer homogenen Funktion nicht erfüllt.

Allgemein kann man sagen, dass ein Polynom genau dann homogen vom Grad n ist, wenn die Summe der Exponenten in jedem Summanden gleich n ist.

Beispiel 3:Eine in vielen ökonomischen Modellen wichtige Funktion ist die Cobb-Douglas-Funktion

f(x,y) = Cxaybfür(x,y) + × +,C > 0,a > 0,b > 0


Diese Funktion verwendet man oft, um Produktionsprozesse zu beschreiben. x und y nennt man Inputfaktoren, F(x,y) ist die Anzahl der produzierten Einheiten, d.h. F wird eine Produktionsfunktion genannt.
Man kann leicht zeigen, dass die Cobb-Douglas-Funktion homogen vom Grad a + b ist:

f(kx,ky) = C(kx)a(ky)b = Ckaxakbyb = ka+bCxayb = ka+bf(x,y)d.h.n = a+b


(c) by Christian Bauer
Prof. Dr. Christian Bauer
Lehrstuhl für monetäre Ökonomik
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