9.7 Das duale Problem

Hier wird die Äquivalenz des Maximierungs- und des Minimierungsproblems erläutert. Wir haben in den vorhergehenden Seiten das bekannte Problem des Haushaltsoptimums in der Maximumsform gelöst, d.h. diejenige Güterkombination x und y gefunden, die den Nutzen U x,y bei gegebenem Budget B maximiert, wenn die Güterpreise px und py betragen. Eine alternative Formulierung wäre die Kosten xpx + ypy zu minimieren, um ein bestimmtes Nutzenniveau U0 zu erreichen.
Also

max x,yU(x,y) unter der Bedingung, dass xpx + ypy = B oder min x,yxpx + ypy unter der Bedingung, dass U(x,y) = U0.

Das Dualitätsprinzip besagt nun, dass die Lösungen für beide Probleme identisch sind, wenn das Budget B mit dem Nutzenniveau U0 korrespondiert. Wird mit einem Budget B maximal das Nutzenniveau U0 erreicht (Maximumproblem), so sind die minimalen Kosten um das Nutzenniveau U0 zu erreichen (Minimumproblem) genau B und die jeweiligen optimalen Güterkombinationen x und y stimmen überein. Man kann die sehr leicht anhand der Lagrange-Gleichungssysteme sehen.

Maximumproblem

Minimumproblem

Lagrangefunktion

Lagrangefunktion

L(x,y,λ) = U(x,y)+λ(xpx+ypy-B)

L(x,y,λ) = xpx+ypy+λ̃(U(x,y)-U0)

Bedingungen erster Ordnung:

Bedingungen erster Ordnung:

d dxU(x,y) + λpx = 0
d dyU(x,y) + λpy = 0
xpx + ypy - B = 0

px + λ̃ d dxU(x,y) = 0
py + λ̃ d dyU(x,y) = 0
U(x,y) - U0 = 0

d dxU(x,y) d dyU(x,y) = px py

d dxU(x,y) d dyU(x,y) = px py

Man sieht also, dass die zentrale Gleichung "Grenznutzenverhältnis = Preisvrehältnis" bei beiden Problemstellungen identisch in der Lösung auftaucht. Und wenn das Budget B mit dem Nutzenniveau U0 korrespondiert, dann sind auch die jeweils dritten FOCs äquivalent.


(c) by Christian Bauer
Prof. Dr. Christian Bauer
Lehrstuhl für monetäre Ökonomik
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