9.5 Der Lagrange-Formalismus am Beispiel einer anderen Nutzenfunktion

Wir lösen nun das bekannte Problem des Haushaltsoptimums für die Nutzenfunktion U x,y = α ln x + βy bei gegebenem Budget B, wenn die Güterpreise px und py betragen, also

max x,yα ln x + βy unter der Bedingung, dass xpx + ypy = B.

Wir bilden die Lagrangefunktion

L x,y,λ = α ln x + βy + λ xpx + ypy - B

und die Bedingungen erster Ordnung:

d dx α ln x + βy + λpx = α x + λpx = 0 (9.14) d dy α ln x + βy + λpy = β 1 2y + λpy = 0 (9.15) xpx + ypy - B = 0 (9.16)

Die FOC 3 stellt die Nebenbedingung dar. Die anderen beiden formen wir um, indem wir - λpx bzw. - λpy addieren

α x = -λpx (9.17) β 2y = -λpy (9.18)

und dann die Gleichungen durcheinander dividieren. Dadurch kürzt sich λ weg.

α x β 2y = px py (9.19)

Die resultierende Gleichung stellt den zentralen Punkt der Lösung dar. Sie stellt einen Zusammenhang zwischen dem Grenznutzenverhältnis und dem Preisverhältnis dar. Wir fassen diese Gleichung nun noch mit der Nebenbedingung zusammen, wobei wir beide leicht umgeformt haben:

xpx + ypy = B 2αpy β y = xpx

Durch Einsetzen erhalten wir

B = 2αpy β y + ypy

und somit als einzige positive Lösung (Hinweis: Man betrachte das als quadratische Gleichung in y!)

y = -α β + α β2 + B py 2

x ergibt sich dann als

x = 1 px 2αpy β y = py px 2α β -α β + α β2 + B py .



(c) by Christian Bauer
Prof. Dr. Christian Bauer
Lehrstuhl für monetäre Ökonomik
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