9.4 Der Lagrange-Formalismus am Beispiel einer Cobb-Douglas-Nutzenfunktion

Wir lösen nun das bekannte Problem des Haushaltsoptimums mit einer Cobb-Douglas Nutzenfunktion U x,y = Txαyβ bei gegebenem Budget B, wenn die Güterpreise px und py betragen, also

max x,yTxαyβ unter der Bedingung, dass xp x + ypy = B.

Wir bilden die Lagrangefunktion

L x,y,λ = Txαyβ + λ xp x + ypy - B

und die Bedingungen erster Ordnung:

d dx Txαyβ + λ xp x + ypy - B = Tαxα-1yβ + λp x = 0 (9.8) d dy Txαyβ + λ xp x + ypy - B = Txαβyβ-1 + λp y = 0 (9.9) d dλ Txαyβ + λ xp x + ypy - B = xpx + ypy - B = 0 (9.10) Die FOC 3 stellt die Nebenbedingung dar. Die anderen beiden formen wir um, indem wir - λpx bzw. - λpy addieren Tαxα-1yβ = -λp x (9.11) Txαβyβ-1 = -λp y (9.12)

und dann die Gleichungen durcheinander dividieren. Dadurch kürzt sich λ weg und die rechte Seite vereinfacht sich.

Tαxα-1yβ Txαβyβ-1 = αy βx = px py (9.13)

Die resultierende Gleichung stellt den zentralen Punkt der Lösung dar. Sie stellt einen Zusammenhang zwischen dem Grenznutzenverhältnis und dem Preisverhältnis dar.
1) Das Grenznutzenverhältnis bei der Cobb-Douglas-Nutzenfunktion ist immer das umgekehrte Verhältnis der Gütermengen y x gewichtet mit dem Verhältnis der Exponenten (Elastizitäten) α β.
2) Der Technikfaktor T ist irrelevant. Dieser beeinflusst die optimale Güterwahl nicht, sondern nur das erreichte Nutzenniveau.
3) Dieselbe Lösung ergäbe sich auch, wenn man eine monotone Transformation (z.B. den Logarithmus) der ursprünglichen Nutzenfunktion betrachtet. Rechnen Sie es doch einmal für Ũ x,y = ln Txαyβ = α ln x + β ln y + γ nach.
Die beiden Gleichungen fassen wir wie folgt zusammen, wobei wir beide leicht umgeformt haben:

xpx + ypy = B α βypy = xpx

Durch einsetzen erhalten wir B = α βpyy + ypy = α+β β ypy oder

ypy = β α + βB xpx = α α + βB

Dies heisst nun dass die Ausgaben für ein Gut xpx immer einem festen Anteil am Budget entsprechen. Die Ausgabenanteile verhalten sich dabei wie die Exponenten der Nutzenfunktion xpx ypy = α β, d.h. für ein Gut mit hohem relativen Nutzen (=großer Exponent) wird auch viel ausgegeben. Dies impliziert insbesondere, dass die Ausgaben für ein Gut nicht vom Preis für das Gut selbst oder dem Konsumverhalten bezüglich des anderen Gutes (Preis, Menge) beeinflusst werden. Steigt der Preis px eines Gutes, so sinkt die konsumierte Menge x im selben Maß. Die Höhe der Ausgaben xpx bleibt jedoch konstant. Dieser Zusammenhang glit jedoch nur für bestimmte spezielle Nutzenfunktionen wie der Cobb-Douglas-Nutzenfunktion.


(c) by Christian Bauer
Prof. Dr. Christian Bauer
Lehrstuhl für monetäre Ökonomik
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